Sejarah Matematika

Biodata Srinivasa Ramanujan

Tempat/Tanggal Lahir    : 22 Desember 1887 Erode, British India .

Meninggal                       : 26 April 1920 (umur 32), Madras, British India .

Tempat tinggal                : India

Kebangsaan                    : Indian.

Bidang                            : Mathematics Alma mater Government Arts College Pachaiyappa's College, Cambridge University.

Pembimbing akademik    : G. H. HardyJ. E. Littlewood .

Dikenal karena                : Landau–Ramanujan constant, Mock theta functions, Ramanujan conjecture, Ramanujan prime, Ramanujan–Soldner constant, Ramanujan theta function, Ramanujan's sum, Rogers–Ramanujan identities

Srinivasa Ramanujan adalah matematikawan genius dari India, anak kampung yang belajar matematika secara otodidak dari pengamatan, perenungan dan, yang unik, adalah berasal dari mimpi.Dikisahkan bahwa dia sering bermimpi bertemu dewa yang memaparkan rumus dan angka-angka misterius yang kemudian, setelah bangun, rumus itu diverifikasi.

.Tetapi usianya tidak panjang yaitu pada usia 32 tahun. Ramanujan meninggal pada 1919 setelah sakit cukup lama dan pulang ke India.Catatannya baru ditemukan tahun 1976, berisi lebih dari 4000 rumus dan catatan lain.

1.   Teori Bilangan Partisi

Setahun sebelum wafatnya Ramanujan, ia memberi pernyataan mengenai konsep partisi. Konsep partisi sebenarnya sederhana. Partisi adalah jumlah pemotongan yang mungkin dari sebuah bilangan. Sebagai contoh, partisi dari 5 adalah 7, karena ada tujuh cara dimana lima dapat

dibagi-bagi kedalam unsurnya yaitu:

     5
     4 + 1
     3 + 2
     3 + 1 + 1
     2 + 2 + 1
     2 + 1 + 1 + 1
     1 + 1 + 1 + 1 + 1

Matematikawan melambangkannya sebagai p(5) = 7. Kalau 6, ia punya 11 cara, sehingga p(6) = 11. Semakin tinggi bilangan yang akan dipartisi, semakin banyak pilihan partisi yang mungkin. Sebagai contoh, 100 dapat dipartisi dengan hampir 200 juta cara, tepatnya p(100) = 190,569,292 dan partisi dari 1000 adalah sebuah bilangan dengan 32 angka, alias puluhan juta triliun triliun. Masalahnya, matematikawan tidak mengetahui rumusnya. Berabad-abad mereka mencari polanya. Selanjutnya Ramanujan juga mengatakan :Tidak ada sifat sederhana yang melibatkan bilangan prima yang lebih besar, dengan kata lain, tidak ada barisan p(n) yang semuanya bisa dibagi 13, 17 atau 19 dst.

Sekarang polanya telah ada, tetapi itu belum menjadi rumus. Pada Januari 2011, Ken Ono dari Universitas Emory dan kawan-kawannya berhasil menemukan  rumusnya: mereka menemukan rumus yang menghubungkan n yang muncul pada interval pangkat dari 13 (13, 13², 13³, dst) dan bilangan prima yang lebih tinggi. Rumus ini memang benar seperti kata Ramanujan, sifatnya tidak sederhana. Penemuan lain yang juga diumumkan bulan Januari oleh Ono dan kawan-kawannya adalah apayang dicari para matematikawan teori bilangan selama berabad-abad : rumus p(n) untuk semua n.

2.Ramanujan Magic Square

Magic Square adalah susunan angka yang berbeda (yaitu setiap nomor yang digunakan sekali), biasanya bilangan bulat, dalam kotak persegi, di mana angka-angka di setiap baris, dan di setiap kolom, semua menambahkan hingga nomor yang sama

   3.Bilangan Ramanujan-Hardy

Perhatikan Bilangan 1729, bilangan ini dapat dituliskan menjadi penjumlahan 2 bilangan kubik

1729 = 1³ + 12³       (dengan 1³  = 1 x 1 x 1)

1729 = 9 ³ + 10³ 

1729 = 7 x 13 x 17

Penguraian di atas tentunya sangat istimewa

karena penguraian 1729 menjadi penjumlah 2 buah bilangan kubik maka 1729 dikenal  Bilangan Ramanujan.

Daftar Pustaka

https://ginengsakti.wordpress.com/tag/ramanujan/

https://m.facebook.com/notes/indonesia-mathematic-clubimc/matematikawan-india-paling-terkemuka/768023379879106

http://idhamlim.blogspot.com/2009/07/genius-metamatik-tamil-tersohor-dunia.html

http://www.apprendre-math.info/indonesien/historyDetail.htm?id=Ramanujan

Wikipedia https://skepticalinquirer.wordpress.com/2014/07/29/ramanujan/

wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan.com

en.wikipedia.org/wiki/Mock_modular_form

Uang Rp.1.000 vs uang Rp.100.000

Uang RP.1.000,- dan uang Rp.100.000,-

Sama-sama terbuat dari kertas, sama-sama dicetak dan diedarkan oleh dan dari Bank Indonesia.

Pada saat bersamaan mereka keluar dan perpisah dari Bank dan beredar di masyarakat.

Empat bulan kemudian mereka bertemu lagi secara tidak senagaja di dalam dompet seorang pemuda.

Kemudian diantara kedua uang tersebut terjadilah percakapan.

Yang Rp.100.000 bertanya kepada yang Rp.1000

“kenapa badan kamu begitu lusuk,kotor dan bau amis?”

Dijawablah oleh Rp.1000

“karena aku begitu keluar dari Bank langsung ditangan orang-orang bawahan, dari tukang becak, tukang sayur, penjual ikan di pasar dan tangan pengemis”.

Lalu Rp.1000 bertanya balik

“ kenapa kamu kelihatan begitu baru, rapi dan ,masih bersih?”

Dijawabnya “ karena begitu aku keluar dari Bank, langsung disambut perempuan cantik dan beredarnyapun di restauran mahal, di mall dan juga hotel-hotel berbintang serta keberadaanku selalu dijaga dan jarang keluar dari dompet”

Lalu Rp.1000 bertanya lagi

“ pernahkah engkau mampir di tempat ibadah?”

Dijawablah oleh Rp.100.000

“ belum pernah”

Rp. 1000 pun berkata lagi

“ ketahuilah walaupun keadaanku seperti ini adanya, setiap jum’at aku selalu mampir di Mesjid-Mesjid, Minggu Gereja-Gereja, Wihara, Klenteng, Pure dan ditangan anak-anak yatim, bahkan aku selalu bersyukur kepada Tuhan karena aku tidak dipandang manusia bukan karena nilai tapi yang dipandang adalah sebuah manfaat”.

Akhirnya menangislah uang RP.100.000 karena merasa besar, hebat, tinggi tapi tidak begitu bermanfaat selama ini.

Jadi bukan seberapa besar penghasilan Anda, tapi seberapa bermanfaat penghasilan Anda itu. Karena kekayaan bukanlah untuk kesombongan.

Semoga kita termasuk golongan orang-orang yang selalu mensyukuri  nikmat dan memberi manfaat untuk semesta alam serta dijauhkan dari sifat sombong.

Notasi Sigma

Notasi Sigma

A.   Pengertian

Perhatikan penjumlahan lima belas bilangan asli pertama yaitu

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15

Penulisan penjumlahan tersebut tidaklah efisien. Para siswa bias bayangkan bagaimana kalau penjumlahan itu bukan lima belas bilangan, tetapi 100 bilangan asli pertama.  Padahal ciri utama matematika adalah penggunaan lambing yang ringkas untuk menampilkan ungkapan yang panjang. 

Ada cara untuk menuliskan penjumlahan  beruntun secara singkat ialah dengan menggunakan notasi ∑ (dibaca “ sigma”). Notasi sigma merupakan huruf besar 

                       Yunani untuk huruf “ S “ dari kata “ Sum “ yang berarti jumlah.  Dengan                                menggunakan notasi sigma, maka bentuk penjumlahan beruntun lima belas                        bilangan asli pertama

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 dituliskan dengan   
Secara umum    = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + … + a_n

(  dibaca “ sigma ai, i dari 1 sampai dengan n.  i disebut indeks, i = 1 disebut batas bawah dan n disebut batas atas )

Bentuk panjang diperoleh dari penjumlahan ai dengan mengganti secara berurutan inbdeksi dari 1 sampa dengan n

B.   Sifat – Sifat Notasi Sigma

                             

selamat belajar :-)

sumber:http://www.matematikatips.tk/2014/05/notasi-sigma.html

Obat stress

Obat stress paling ampuh adalah Al-Qur’an

Membaca Al-Qur'an mengandung banyak manfaat yang dapat kita dapatkan, selain mendapat pahala dari Allah SWT ternyata membaca Al-Qur'an juga memiliki efek yang sangat baik bagi tubuhkita terutama pada pikiran.

Ternyata dalam  sebuah penelitian ilmiah yang disebutkan bahwa Al-Qur'an ternyata memiliki kemampuan untuk menenangkan jiwa seseorang yang mendengarkan lantunan ayat-ayat Al-Qur'an.

Bahkan dalam sebuah penelitian ilmiah dikatakan bahwa apabila seseorang menghafal Al-Qur'an, maka kesehatan jiwanya akan semakin meningkat. Dan apabila kadar hafalannya terus ditingkatkan, maka kesehatan jiwanya juga akan meningkat pula.

Sebuah penelitian telah dilakukan oleh Prof. DR. Shalih bin Ibrahim yang merupakan seorang profesor di bidang ilmu kesehatan jiwa. Dia membuat dua kelompok, kelompok pertama terdiri dari para mahasiswa-mahasiswi Universitas Malik Abdul Aziz di Jeddah yang jumlahnya 170 orang. Dan kelompok kedua terdiri  dari mahasiswa-mahasiswi Ma’had al-Imam asy-Syatibi li ad-Dirasah al- Qur’ananiyah, filal Universitas al-Khairiyah Lifahfidzil Quran al Karim di Jeddah  yang jumlahnya juga sama.

Penelitian itu menyimpulkan bahwa mahasiswa yang memiliki tingkat hafalan yang bagus, dia cenderung memiliki tingkat kesehatan jiwa yang baik. Bahkan dalam sebuah survey yang dilakukan kepada non-muslim yang baru pertama kali mendengarkan Al-Qur'an, kebanyakan dari mereka merasa lebih tenang hati dan jiwanya setelah mendengarkan Alquran.

Penelitian tersebut membuktikan bahwa Al-Qur'an memang memiliki efek yang sangat baik bagi kesehatan jiwa dan pikiran seseorang. Rasulullah Saw pernah bersabda,:         “ sebaik-baik kalian adalah orang yang mempelajari Alquran dan mengajarkannya.”[H.R. Bukhari]

Untuk itu, jika kita sedang merasa stress atau hati kita gelisah maka bacalah Al-Qur'an agar hati kita tenang dan lebih dekat dengan Allah SWT. Dan akan lebih baik apabila kita mengamalkannya secara rutin serta mempelajari isi dan makna yang terkandung didalamnya, maka selain mendapatkan hadiah pahala dari Allah SWT.

Semoga apa yang disampaikan disini bermanfaatJJ

Induksi Matematika

   

   Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian dari banyak teorema dalam bilangan maupun dengan matematika lainnya. Serta merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraan, himpunan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli.

Misalkan pernyataan: "P(n) adalah proposisi yang berlaku untuk setiap bilangan asli n"

Pembuktian kebenaran dari pernyataan ini dengan menggunakan induksi matematika yang mengikuti langkah-langkah berikut ini:

1. Ditunjukksn bahwa P(1) benar
2. Diasumsikan bahwa P(k) benar, untuk suatu bilangan asli k>1, dan ditunjukkan bahwa P(k+1) benar.

Apabila kedua langkah berhasil, maka kita dapat bilangan asli n. Langkah 1 disebut basis (dasar) induksi dengan langkah 2 disebut langkah induksi.

Contoh:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

 2 + 4 + 6 +......+ 2n = n(n+1)

Bukti:

 Misalkan P(n) menyatakan: 2 +4 + 6 +.....+ 2n = n(n+1)

 P(1) adalah 2 = n(n+1)

                    2 = 1(1+1)

                    2 = 2

Jadi, P(1) benar.

Diasumsikan P(k) benar,

P(k) adalah 2 + 4 + 6 +.....+ 2k = k(k+1)

akan dibuktikan P(k+1) juga benar.

      P(k+1) : 2 + 4+ 6 +.....+ 2k + 2(k+1) = (k+1) (k+1+1)

                                       k(k+1) + 2(k+1) =  (k+1) (k+2)

                                              (k+1) (k+2) = (k+1) (k+2)

Jadi, 2 + 4 + 6 +......+ 2k + 2(k+2) = (k+1) (k+2)

berarti P(k) benar, sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku 2 + 4 + 6 +....+ 2n = n(n+1)

daftar pustaka:

• SUKIRMAN. Pengantar Teori Bilangan. 2006. Yogyakarta: Hanggar Kreator

         

Pengenalan bentuk geometri

Konsep Bentuk Geometri

Geometri adalah bagian dari matematika yang membahas mengenai titik, bidang dan ruang. Sudut adalah besarnya rotasi antara dua buah garis lurus; ruang adalah himpunan titik- titik yang dapat membentuk bangun- bangun geometri; garis adalah himpunan bagian dari ruang yang merupkan himpupnan titik- titik yang mempunyai sifat khusus; bidang adalah himpunan- himpunan titik- titik yang terletak pada permukaan datar, misalnya permukaan meja (Negoro, 2003: 18).

Konsep Mengenal Bentuk Geometri

Mengenal bentuk geometri anak usia dini adalah kemampuan anak mengenal, menunjuk, menyebutkan serta mengumpulkan benda-benda di sekitar berdasarkan bentuk geometri.

Tahap-Tahap Belajar Geometri

Tahap pertama anak belajar geometri adalah topologis. Mereka belum mengenal jarak, kelulusan dan yang lainnya, karena itu mulai belajar geometri supaya tidak mulai dengan lurus- lurus, tetapi denga lengkung, misalnya lengkungan tertutup, lengkungan terbuka daerah lengkungan, lengkungan sederhana dan lainnya. Van Hiele dalam Ruseffendi, (1991 : 161-163) berpendapat bahwa ada lima tahapan anak belajar geometri, yaitu sebagai berikut.

Tahap Pengenalan

Pada tahap ini siswa sudah mengenal bentuk- bentuk geometri, seperti segitiga, kubus, bola, lingkaran, dan lian-lain, tetapi ia belum memehami sifat- sifatnya.

Tahap Analisis

Pada tahap ini, siswa sudah dapat memahami sifat- sifat konsep atau bentuk geometri. Misalnya, siswa mengetahui dan mengenal bahwa sisi panjang yang berhadapan itu sama panjang, bahwa panjang kedua diagonalnya sama panjang dan memotong satu sama lain sama panjang dan lain- lain.

Tahap Pengurutan

Pada tahap ini, siswa sudah dapat mengenal bentuk- bentuk geometri dan memahami sifat- sifat dan ia sudah dapat mengurutkan bentuk- bentuk geometri yang satu sama lain berhubungan

Tahap Dedukasi

Pada tahap ini, berpikir deduktifnya sudah mulai tumbuh, tetapi belum berkembang dengan baik. Matematika adalah ilmu deduktif, karena pengambilan kesimpulan, pembuktian dalil yang harus dilakukan secara deduktif.

Pada tahap ini, siswa sudah dapat memehami pentingnya pengambilan kesimpulan secara deduktif itu, karena misalnya ia dapat melihat bahwa kwsimpulan yang diambil secara induktif itu mungkin bisa keliru.

Tahap Kakuratan (Ringor)

Pada tahap ini, siswa dapat memahami bahwa adanya ketepatan (presisi) dari yang mendasar itu penting. Van Hiele (Rueefendi, 1991: 163- 164) berpendapat mengenai pengajaran geometri ada tiga dalil,  yaitu:

Kombinasi yang baik antar waktu, materi pelajaran, dan metode mengajar yang dipergunakan untuk tahap tertentu dapat meningkatkan kemampuan berpikir siswa kepada tahap yang lebih tinggi.

Dua orang yang tahap berpikirnya berbeda dan bertukaran pikiran, satu sam lain tidak akan mengerti.

Kegiatan belajar siswa harus memahami dengan pengertian untuk memperluas pengalaman dan berpikir siswa, untuk meningkatkan berpikir ke tahap yang lebih baik.

Kegiatan Pembelajaran

Mengenal Bentuk Geometri

Bentuk geometri yang akan diperkenalkan pada anak meliputi bentuk segitiga, lingkaran, dan persegi.

Alat dan Bahan:

Menggunakan balok berbentuk segitiga, lingkaran, dan persegi.

Prosedur:

Menunjukkan masing-masing bentuk geometri kepada anak.

Guru menyebutkan nama masing-masing bentuk geometri

Guru meminta anak untuk mengambil benda sesuai dengan nama bentuk geometri yang disebutkan oleh guru.

Assesmen:

Guru menanyakan kepada anak  tentang benda apa saja yang ada di kelas yang berbentuk geometri

Membuat Bentuk Geometri

Anak-anak diminta untuk membuat bentuk geometri.

Alat dan bahan: Plastisin dengan berbagai warna.

Prosedur:

Guru meminta anak untuk maju  membuat berbagai macam bentuk geometri.

Guru menanyakan kepada anak tentang  bentuk yang sudah dibuatnya.

Mengenal Bentuk Geometri menggunakan puzzle

Alat dan bahan: puzzle dari gabus.

Prosedur:

Mintalah anak untuk melepaskan kepingan puzzle dari papannya kemudian minta untuk memasangkan kembali ke tempat yang tepat.

Sambil bermain memasang kepingan puzzle, mulailah memperkenalkan warna pada anak dengan cara menunjukkan kepingan puzzle.

Jika sudah mengenal warna keping tersebut,  guru bisa meminta anak memasangkan keping berdasarkan bentuk yang guru minta.

Membuat Berbagai Bangun dengan Bentuk Geometri

Alat dan Bahan: Balok dengan berbagai bentuk geometri.

Prosedur:

Guru meminta anak untuk maju secara berkelompok, setiap kelompok 3 orang anak.

Guru  memberikan kebebasan pada anak untuk   membuat bangunan dari balok yang disediakan.

Assesmen:

Guru  menanyakan kepada anak mengenai bangunan yang telah dibuat anak. Terdiri dari bentuk apa sajakah bangunan tersebut.