Induksi Matematika

   

   Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian dari banyak teorema dalam bilangan maupun dengan matematika lainnya. Serta merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraan, himpunan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli.

Misalkan pernyataan: "P(n) adalah proposisi yang berlaku untuk setiap bilangan asli n"

Pembuktian kebenaran dari pernyataan ini dengan menggunakan induksi matematika yang mengikuti langkah-langkah berikut ini:

1. Ditunjukksn bahwa P(1) benar
2. Diasumsikan bahwa P(k) benar, untuk suatu bilangan asli k>1, dan ditunjukkan bahwa P(k+1) benar.

Apabila kedua langkah berhasil, maka kita dapat bilangan asli n. Langkah 1 disebut basis (dasar) induksi dengan langkah 2 disebut langkah induksi.

Contoh:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

 2 + 4 + 6 +......+ 2n = n(n+1)

Bukti:

 Misalkan P(n) menyatakan: 2 +4 + 6 +.....+ 2n = n(n+1)

 P(1) adalah 2 = n(n+1)

                    2 = 1(1+1)

                    2 = 2

Jadi, P(1) benar.

Diasumsikan P(k) benar,

P(k) adalah 2 + 4 + 6 +.....+ 2k = k(k+1)

akan dibuktikan P(k+1) juga benar.

      P(k+1) : 2 + 4+ 6 +.....+ 2k + 2(k+1) = (k+1) (k+1+1)

                                       k(k+1) + 2(k+1) =  (k+1) (k+2)

                                              (k+1) (k+2) = (k+1) (k+2)

Jadi, 2 + 4 + 6 +......+ 2k + 2(k+2) = (k+1) (k+2)

berarti P(k) benar, sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku 2 + 4 + 6 +....+ 2n = n(n+1)

daftar pustaka:

• SUKIRMAN. Pengantar Teori Bilangan. 2006. Yogyakarta: Hanggar Kreator