Pembuktian Sifat Aljabar

Theorem 2.3.1 (Cancellation of addition).
untuk semua a,b,c∈R, jika a + c = b + c, maka a = b.
Bukti:
a + c            = b + c
a + c + (-c)  = b + c + (-c)
a + 0            = b + 0
a                  = b (terbukti)

Theorem 2.3.2. 
untuk setiap a∈R , maka a·0=0
Bukti:
a . 0       = a . (0 + 0)
a  .0       = a. 0 + a . 0
0 + a . 0 = a  .0 + a  .0 (kita gunakan teorema 2.3.1)
0            = a . 0 (terbukti)

Theorem 2.3.3. The additive inverse of a real number is unique.
Bukti:
Andaikan suatu invers penjumlahan tidak tunggal.
Ambil a∈R, bararti terdapat b dan c (merupakan invers jumlah dari a) sedemikian hingga a+b=0 dan a+c=0,
Berdasarkan (A1a) kita dapatkan a+b=a+c, (kita gunakan teorema 2.3.1) maka b=c (terbukti).

Theorem 2.3.4. Untuk setiap a∈R, −(−a)=a.
Bukti:
Ambil (–a)∈R, berarti terdapat –(-a), sedemikian hingga (-a)+ (-(-a))=0
(-a)+ (-(-a))     = (-a) + a
a+(-a)+ (-(-a)) = a+(-a) + a
0+(-(-a))          = 0 +a
(-(-a))              = a (terbukti)

Theorem 2.3.6:
Jika a,b∈R, maka :
1. (−a) . b   = −(ab).
2. (−a)(−b) = ab.

1.  Bukti:
(-a) . b = (-a) . b + 0
            = (-a)b + ab + (-(ab))
            = b(a +(-a)) + (-(ab))
            = b.0 + (-(ab))
(-a) . b = -(ab) (terbukti)



2.  Bukti:
(-a)(-b)  = ab
             = -(a(-b)) (berdasar teorema 2.3.6 a)
             = -((-b)a)
             = -(-b) a (teorema 2.3.4)
             = ba = ab (terbukti)

Theorem 2.3.9:
Jika ac=bc dan c=0, maka a=b.
Bukt i:
ac    = bc
acc^-1= bc c^-1
a      = c ( terbukti)

Theorem 2.3.10 :
The multiplicative inverse of a ≠0 is unique (tunggal).
Bukti :
ambil sebarang a ∈R, a ≠0, andaikan invers bilangan real tidak tunggal, maka akan terdapat b dan c, b≠c, sedemikian hingga ab=1 dan ac= 1,
Maka kita peroleh ab=ac (sifat transitif)
b=c (cancellation)
maka pengandaian salah, jadi invers perkalian pada setiap a ∈R, a ≠0, adalah tunggal. (terbukti)

Theorem 2.3.11:
Untuk semua a≠0 , (a^-1)^-1 = a.
Bukti:
Ambil a^-1∈R, berarti terdapat (a^-1)^-1
sedemikian hingga a^-1.(a^-1)^-1=1
a.a^-1.(a^-1)^-1= a.1
1.(a^-1)^-1     = a
(a^-1)^-1          = a  (terbukti)

Theorem 2.3.12:
Untuk semua bilangan tak nol a,b∈R,(ab)^-1=a^-1b^-1
Bukti :
(ab)^-1 = (ab)^-1.1.1
(ab)^-1 = (ab)^-1. a.a^-1 b.b^-1
(ab)^-1 = (ab)^-1. a.b.a^-1.b^-1
(ab)^-1 = (ab)^-1. (ab) a^-1.b^-1
(ab)^-1 = 1.a^-1.b^-1
(ab)^-1 = a^-1 .b^-1 (terbukti)

Principle of zero products: If ab=0, then either a=0 or b=0.
Bukti:
Ambil a∈R, a ≠0, a.b=0
a^-1 .a.b = a^-10
1.b       = 0
b          = 0 (terbukti)

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd, for all a,b,c,d∈R.
Bukti:
Ambil a,b,c,d∈R.
a(c+d)=ac+ad ..(1)
b(c+d)=bc+bd…(2)
dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) kita dapat
a(c+d)+ b(c+d)= ac+ad+ bc+bd
(a+b) (c+d)= ac+ad+ bc+bd (distributif) (terbukti)

Suppose we replace assumption A15 with the assumption that 1=0. Show that, with this assumption, there are no nonzero real numbers
Bukti:
Ambil sebarang a∈R, a= a.1
a = a.0
a = 0,
karena kita mengambil sebarang a, maka berlaku untuk semua bilangan Real, sehingga semua bilangan Real adalah nol.(terbukti)