Gemar Membaca : Keterbagian

Keterbagian merupakan sifat-sifat yang harus dimiliki suatu bilangan agar bilangan tersebut habis dibagi oleh bilangan yang lain. Di sini ‘habis’ maksudnya adalah bahwa jika dilakukan pembagian, maka hasilnya berupa bilangan bulat, bukan pecahan. Sebagai contoh, 28 habis dibagi 4, yang hasilnya adalah 7. Sedangkan 30 tidak habis dibagi 8, karena menghasilkan 4 ditambah sisa 6. Jika a habis dibagi oleh b, atau sebut b membagi a, maka dapat dinyatakan dengan $b\setminus a$ . Keterbagian merupakan salah satu topik yang penting dalam teori bilangan.

Sifat-sifat keterbagian:

Misalkan a, b, c, k, dan m merupakan bilangan-bilangan bulat, maka berlaku:

a
a $\setminus 0$
1
Jika a $\setminus b$ , maka a $\setminus kb$
Jika ab $\setminus c$ , maka a $\setminus b$ dan b $\setminus c$
Jika a $\setminus b$ dan b $\setminus c$ , maka a $\setminus c$
Jika a $\setminus b$ dan a a $\setminus c$ , maka a $\setminus bk + cm$
Jika a $\setminus c$ dan b $\setminus c$ , maka ab $\setminus c$ jika a dan b relatif prima.

Uji Habis dibagi

Berikut ini beberapa sifat suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan yang lain.

Misalkan N suatu bilangan bulat, maka N akan habis dibagi oleh:

2, jika bilangan tersebut genap.
3, jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 3.
4, jika dua angka terakhir habis dibagi 4
5, jika angka terakhir (angka satuan) nya 0 atau 5
8, jika tiga angka terakhirnya habis dibagi 8
9, jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 9
11, jika selisih jumlah bilangan pada posisi genap dengan pada posisi ganjil habis dibagi 11
$2^n$ jika $n$ angka terakhirnya habis dibagi oleh $2^n$ .
$5^n$ jika $n$ angka terakhirnya habis dibagi oleh $5^n$

Berikut ini salah satu soal tentang keterbagian:

1. Diketahui a679b merupakan bilangan bulat lima digit. Jika bilangan tersebut habis dibagi oleh 72, tentukan nilai dari a dan b. (Canadian Mathematical Olympiad 1980)

Jawaban:Perhatikan bahwa 72 = 8×9. Sedangkan 8 dan 9 merupakan dua bilangan yang saling relatif prima, maka bilangan tersebut habis dibagi 8 dan 9.

Karena habis dibagi $8=2^3$ , maka tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 9. Berarti, 79b habis dibagi 8. Setelah mengecek nilai b mulai dari 0 sampai 9, ternyata yang memenuhi hanya b = 2.

Kemudian, a679b juga habis dibagi 9. Maka agar habis dibagi 9, jumlah digit-digitnya haruslah habis dibagi 9. Jumlah digitnya adalah a + 6 + 7 + 9 + 2 = 24 + a. Agar 24 + a habis dibagi 9, maka setelah dicek nilai a mulai dari 0 sampai 9, ternyata yang memenuhi hanya a = 3.

Gemar Membaca

Rabu, 13 April 2016

Keterbagian

Sifat-sifat keterbagian:

Uji Habis dibagi

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Kategori