Sifat Urutan Bilangan

AKSIOMA URUTAN

Definisi 2.1

Misalkan H adalah himpunan. Urutan pada H adalah relasi (hubungan), yang dinyatakan dengan lambang < yang memiliki kedua sifat berikut.

a.      Apabila a ϵ H dan b ϵ H, maka tepat satu dari tiga pernyataan berikut benar :

a < b                a = b                b < a

b.      Apabila a ϵ H, b ϵ H dan c ϵ H, sedemikian sehingga a < b dan b < c, maka a < c.

Harap diperhatikan bahwa ungkapan “a kurang dari b”di atas tidak menunjukkan bahwa a dan b adalah bilangan, atau menunjukkan bahwa a adalah bilangan yang lebih kecil dari pada b. Dalam ungkapan itu, a dan b menunjukkan anggota dari himpunan H saja, dan urutan itu tidak menunjukkan pada urutan antara bilangan-bilangan atau antara kuantitas-kuantitas.

Definisi 2.2

Himpunan terurut ialah himpunan yang padanya telah terdefinisi suatu urutan.

Perhatikan bahwa himpunan terurut pada definisi 2.2 itu tidak menunjukkan himpunan tertentu, tidak berarti bahwa himpunannya adalah himpunan bilangan. Sebaliknya, tidak setiap himpunan bilangan merupakan himpunan terurut. Jika himpunan H terdefinisi atau dapat didefinisikan lebih dari satu relasi urutan, maka untuk menghindari kerancuan perlu dijelaskan, dengan relasi yang mana himpunan itu merupakan himpunan terurut, misalnya dengan menggunakan ungkapan “(H, r) merupakan himpunan terurut”.

Medan Terurut

Sistem matematis dengan dua operasi yang memiliki sejumlah sifat tertentu disebut medan. Medan ada yang terurut dan ada yg tidak terurut. Ada beberapa cara untuk mendefinisikan medan terurut. Definisi yang kita gunakan adalah sebagai berikut :

Definisi 2.3

Medan (M, +, x) disebut medan terurut jika dan hanya jika ada himpunan tidak kosong M_p ⊂ M yang memiliki ketiga sifat berikut :

1.      Apabila a ϵ M_p dan b ϵ M_p, maka a + b ϵ M_p

2.      Apabila a ϵ M_p dan b ϵ M_p, maka a x b ϵ M_p

3.      Apabila a ϵ M, maka tepat satu hubungan berikut benar :

A ϵ M_p             a = 0                -a ϵ M_p

Perhatikan bahwa ketiga sifat itu menentukan relasi urutan. Misalnya :

a.      Ditetapkan bahwa “a k b jika dan hanya jika b - a ϵ M_p”. Dengan ketentuan ini dapat dibuktikan bahwa k merupakan relasi urutan pada M.

b.      Ditetapkan bahwa “a l  b jika dan hanya jika b - a ϵ M_p”. Dengan ketentuan ini dapat dibuktikan bahwa l merupakan relasi urutan pada M.

Definisi 2.4

Medan terurut M ialah medan M dengan z sebagai unsur identitas terhadap penjumlahan, yang juga merupakan himpunan terurut, dengan relasi urutan “<”, yang mempunyai kedua sifat berikut :

1.      Jika a, b, c ϵ M dan a < b, maka a + c < b + c.

2.      Jika a, b ϵ M dengan z < a dan z < b, maka z < ab.

Urutan pada Bilangan Nyata

Agar kita dapat mengerjakan soal-soal analisis dengan langkah yang taat asas, dan agar uraian tentang analisis ini bersistem, maka urutan bagi bilangan nyata (urutan pada bilangan nyata) perlu didefinisikan tersendiri. Untuk sampai ke definisi itu ada beberapa cara atau pendekatan. Pendekatan yang diikuti dalam makalah ini adalah pendekatan melalui aksioma urutan.

Aksioma 2.1 (Aksioma Urutan pada R)

Ada himpunan P yang tidak kosong, merupakan himpunan bagian dari R, dan memiliki ketiga sifat berikut ini :

a.      Apabila r dan s adalah anggota dari P, maka r + s juga merupakan anggota dari P.

b.      Apabila r dan s adalah anggota dari P, maka r x s juga merupakan anggota dari P.

c.       Apabila r adalah bilangan nyata, maka tepat satu dari ketiga hubungan berikut berlaku :

r ϵ P                 r = 0                 -r ϵ P

Sifat (c) di atas lazim disebut sifat Trikotomi. Mari kita perhatikan hubungan antara sifat Kealjabaran Bilangan Nyata, Definisi 2.2 dan Aksioma 2.1. Karena R merupakan medan, maka dapat disimpulkan bahwa R merupakan medan terurut. Selanjutnya perhatikan hubungan antara sifat R sebagai medan terurut dan pengertian bilangan positif dan bilangan negatif. Dalam Analisis Real ini, bilangan positif dan bilangan negatif didefinisikan berdasarkan aksioma 2.1 di atas, yaitu sebagai berikut :

Definisi 2.5

1.      Bilangan positif atau bilangan nyata positif ialah anggota dari himpunan P yang tersebut di dalam Aksioma 2.1 di atas.

2.      Bilangan negatif atau bilangan nyata negatif ialah bilangan nyata a yang bersifat bahwa -a merupakan anggota dari himpunan P yang tersebut dalam Aksioma 2.1 di atas.

Definisi 2.6

1.      Apabila a dan b adalah bilangan nyata sedemikian sehingga a - b merupakan bilangan positif, maka dikatakan bahwa a lebih besar dari pada b, atau a lebih dari b, dan dinyatakan dengan notasi a > b.

2.      Apabila c dan d adalah bilangan nyata sedemikian sehingga - (c - d) merupakan bilangan positif, maka dinyatakan c lebih kecil dari pada d, atau c kurang dari d, dan dinyatakan dengan notasi c < d.

3.      Apabila a dan b adalah bilangan nyata sedemikian sehingga a - b ϵ [P υ {0}], maka dikatakan bahwa a lebih besar dari pada atau sama dengan b, atau a lebih dari atau sama dengan b, dan dinyatakan dengan notasi a ≥ b.

4.      Apabila c dan d adalah bilangan nyata sedemikian sehingga - (c - d) ϵ [P υ {0}], maka dikatakan bahwa c lebih kecil dari pada atau sama dengan d, atau c kurang dari atau sama dengan d, dan dinyatakan dengan notasi c ≤ d.

Ketidaksamaan Rangkap

Dua ketidaksamaan ada yang dapat disingkat menjadi satu “ketidaksamaan rangkap” sebagai berikut :

“a < b < c” adalah singkatan dari “a < b dan b < c”

“a ≤ b < c” adalah singkatan dari “a ≤ b dan b < c”

“a < b ≤ c” adalah singkatan dari “a < b dan b ≤ c”

“a ≤ b ≤ c” adalah singkatan dari “a ≤ b dan b ≤ c”

“a > b > c” adalah singkatan dari “a > b dan b > c”

“a ≥ b > c” adalah singkatan dari “a ≥ b dan b > c”

“a < b > c” adalah singkatan dari “a < b dan b > c”

“a ≥ b ≥ c” adalah singkatan dari “a ≥ b dan b ≥ c”

Perhatikan bahwa 0 + 0 = 0. Hal ini berarti bahwa lawan dari 0 adalah 0, atau -0 = 0. Oleh karena itu, untuk setiap a ϵ R berlaku hubungan sebagai berikut.

A - 0 = a + (-0)

                    = a + 0

                    = a

Dari hubungan itu dapat disimpulkan bahwa a ϵ P jika dan hanya jika a - 0 ϵ P. Dengan kata lain, a adalah bilangan positif jika dan hanya jika a lebih besar dari pada 0. Dengan penalaran yang sama, dapat disimpulkan bahwa b adalah bilangan negatif jika dan hanya jika b lebih kecil dari pada 0. Berdasarkan sifat tersebut, notasi “a > 0” dapat dibaca “a lebih besar dari pada 0” dan dapat juga dibaca “a adalah bilangan positif”. Demikian pula notasi “b < 0” dapat dibaca “b lebih kecil dari pada 0” dan dapat juga dibaca “b adalah bilangan negatif”.